一、整體增長率與部分增長率滿足的十字交叉關系式

這里我們主要討論整體的增長率與各個組成部分增長率之間的關系：整體的增長率居中，即小于各個組成部分的增長率的最大值，大于各個組成部分的增長率的最小值，而且離基期值特別大的部分的增長率較近。解題關鍵：需要結合具體資料和題目，靈活理解整體是由哪幾個部分構成的，以及整體增長率和部分增長率之間的關系。

特別地，若一個整體由甲、乙2個部分的和構成，整體基期量A等于甲、乙2個部分的基期量A1和A2的和，則整體的增長率r和2個部分的增長率r1、 r2滿足下列十字交叉關系式：

即2個部分的增長率與整體的增長率交叉相減可得兩個部分基期量之比(當兩個部分的“1+增長率”差別不大時，可用現(xiàn)期量之比近似替代基期量之比)。

這個結論有助于比較準確的計算出整體或某個部分的增長率的具體數(shù)值，在一些相對較難的混合增長率的計算題中還是很方便的。

二、十字交叉法結合混合增長率的應用

【例1】(2017年北京)

材料：2015年上半年全國水產品產量2700.09萬噸，同比增長3.20%，其中養(yǎng)殖水產品產量2114.38萬噸，同比增長4.13%。

問題：2015年上半年，非養(yǎng)殖水產品產量與上年同期相比的變化最接近以下哪個數(shù)字?

A.-20% B.0%

C.5% D.10%

【答案】B

【解析】本題考查混合增長率的應用。

解法一：根據混合增長率口訣“整體增速介于各部分增速之間”，可得養(yǎng)殖水產品增速(4.13%)>水產品增速(3.20%)>非養(yǎng)殖水產品增速，排除C、D選項。根據增長量=現(xiàn)期量×增長率/(1+增長率)，3.2%≈1/30 ，4.13%≈1/25 ，分子取整，利用增長量計算n+1原則，可得2015年上半年水產品增長量為2700/(1+30)≈87(萬噸)，養(yǎng)殖水產品為2114/(25+1)≈81(萬噸)，則非養(yǎng)殖水產品增長約87-81=6(萬噸)，增速不可能為負數(shù)(之所以為0%是因為計算過程存在些許誤差，6萬噸相對其本身基數(shù)而言非常小，基本可以忽略)，排除A選項。

因此，選擇B選項。

解法二：數(shù)據取整，可得2015年上半年非養(yǎng)殖水產品產量為2700-2114≈2700-2100=600(萬噸)，養(yǎng)殖水產品產量與非養(yǎng)殖水產品產量之比為2100/600 ≈3.5(由于增長率較小，可用現(xiàn)期量之比近似代替基期量之比)，設非養(yǎng)殖水產品產量的增速為r2，根據“十字交叉”可得

解得r2-0.055%，結合選項，r2=0%。

因此，選擇B選項。

【例2】(2021年江蘇)

材料：

問題： 2019年我國海洋相關產業(yè)產值增速為( )。

A.低于3.0% B.介于3.0%和4.0%之間

C.高于5.0% D.介于4.0%和5.0%之間

【答案】B

【解析】第一步，本題考查混合增長率計算。

第二步，定位表格可知，“2019年，海洋生產總值為89415億元，同比增長6.2%，海洋產業(yè)生產總值為57315億元，同比增長7.8%，海洋相關產業(yè)生產總值為32100億元”。

第三步，海洋生產總值=海洋產業(yè)生產總值+海洋相關產業(yè)生產總值，根據混合增長率口訣“整體增長率介于部分增長率之間，偏向基期量較大的一側所對應的增長率”，7.8%>6.2%>海洋相關產業(yè)生產總值的同比增速，選項均符合，無法排除選項。根據基期量=現(xiàn)期量/(1+增長率)，海洋產業(yè)生產總值、海洋相關產業(yè)生產總值的分母“1+增長率”差別不大，“海洋產業(yè)總值”的現(xiàn)期量明顯高于“海洋相關產業(yè)總值”的現(xiàn)期量，則“海洋產業(yè)總值”的基期量也明顯高于“海洋相關產業(yè)總值”的基期量，即整體增長率更靠近7.8%，則海洋相關產業(yè)生產總值的同比增速應低于6.2%-(7.8%-6.2%)=4.6%，無法排除選項。

第四步，根據十字交叉法，增長率交叉相減可得兩個部分基期量之比(當兩個部分的“1+增長率”差別不大時，可用現(xiàn)期量之比近似替代基期量之比)，設海洋相關產業(yè)生產總值的同比增速為r，則有

解得r=3.32%。

因此，選擇B選項。

如果根據混合增長率口訣“整體增長率介于部分增長率之間，偏向基期量較大的一側所對應的增長率”，無法快速確定正確選項時，靈活結合“十字交叉法”計算并確定正確答案，可以迅速提高做題效率，達到事半功倍的效果。

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