其實(shí)對(duì)于排列組合和概率題目的解題，我們有一些特定的方法技巧可以運(yùn)用，比如說(shuō)要求某些元素必須在一起時(shí)可以運(yùn)用捆綁法，要求元素間不相鄰時(shí)可以運(yùn)用插空法，將相同元素分組且每組至少擁有一個(gè)或多個(gè)元素時(shí)可以運(yùn)用隔板法等等。解決排列組合和概率問(wèn)題可以運(yùn)用的方法有很多很多，今天我們重點(diǎn)來(lái)學(xué)習(xí)插空法。

1.插空法適用于什么樣的題型呢?

插空法是解決排列組合和概率問(wèn)題常用的方法技巧之一，主要應(yīng)用于題目中要求某些元素不相鄰或不在一起時(shí)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，當(dāng)遇到排列組合題目中出現(xiàn)不在一起、不相鄰這些字眼時(shí)，我們就可以考慮該題是否可以運(yùn)用插空法。

2.怎樣運(yùn)用插空法解題?

運(yùn)用插空法解決排列組合和概率問(wèn)題，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)可以分為兩步：第一步，先將不在一起元素以外的其他元素進(jìn)行排列(若其他元素之間相同，則排列方式只有一種;若不同，則將這些元素進(jìn)行全排列);第二步，根據(jù)題目條件再將不在一起的元素進(jìn)行插空(若不在一起元素之間不同，則排列;若相同，則組合)。插空法對(duì)于解決元素的不相鄰問(wèn)題非常有用，接下來(lái)我們就通過(guò)三道真題來(lái)學(xué)習(xí)一下如何運(yùn)用插空法解題。

【真題1】某學(xué)習(xí)平臺(tái)的學(xué)習(xí)內(nèi)容由觀看視頻、閱讀文章、收藏分享、論壇交流、考試答題五個(gè)部分組成。某學(xué)員要先后學(xué)完這五個(gè)部分，若觀看視頻和閱讀文章不能連續(xù)進(jìn)行，該學(xué)員學(xué)習(xí)順序的選擇有：

A.24種

B.72種

C.96種

D.120種

【答案】B

【解析】第一步，本題考查排列組合問(wèn)題，用插空法解題。

第二步，觀看視頻和閱讀文章不能連續(xù)進(jìn)行，先把收藏分享、論壇交流和考試答題排列好，共有=6(種)方式，這三部分形成4個(gè)空，需在4個(gè)空中插入“觀看視頻”和“閱讀文章”，有=12(種)方式，那么共有6×12=72(種)學(xué)習(xí)順序。

因此，本題選擇B選項(xiàng)。

在這道題中，由于給出的五個(gè)元素之間互不相同，因此我們不管是對(duì)其他元素還是對(duì)不相鄰元素都進(jìn)行了排列。我們先排列了不相鄰元素以外的三個(gè)元素，其次再將不相鄰元素進(jìn)行插空。接下來(lái)我們?cè)賮?lái)看一道其他元素不同，不相鄰元素相同的題目。

【真題2】小區(qū)內(nèi)空著一排相鄰的8個(gè)車位，現(xiàn)有4輛車隨機(jī)停進(jìn)車位，恰好沒(méi)有連續(xù)空位的停車方式共有多少種?

A.48

B.120

C.360

D.1440

【答案】B

【解析】要求4個(gè)空車位沒(méi)有連續(xù)的，不相鄰問(wèn)題用插空法，空車位插空排列即可，4輛車停進(jìn)4個(gè)車位，有種方式，4輛車形成5個(gè)空，選其中4個(gè)空給空車位，有種方式，總共有24×5=120種方式。

因此，本題選擇B選項(xiàng)。

在這道題中，其他元素是車，車之間互不相同，因此用排列，不相鄰元素是車位，車位和車位之間相同，因此用組合。那會(huì)不會(huì)有所有元素都相同的不相鄰問(wèn)題呢?接下來(lái)我們?cè)賮?lái)看一道真題。

【真題3】某條道路一側(cè)共有20盞路燈。為了節(jié)約用電，計(jì)劃只打開其中的10盞。但為了不影響行路安全，要求相鄰的兩盞路燈中至少有一盞是打開的，則共有()種開燈方案。

A.2

B.6

C.11

D.13

【答案】C

【解析】一側(cè)共有20盞燈，打開其中10盞，則熄滅10盞，要求相鄰兩盞路燈中至少有一盞是打開的，說(shuō)明熄滅的燈不能相鄰，用插空法解題。10盞熄滅的燈插空到10盞打開的燈形成的11個(gè)空，共有種。

因此，本題選擇C選項(xiàng)。

在這道題中，涉及到的元素是路燈，打開的路燈之間都相同，因此在進(jìn)行排列時(shí)只有一種情況，熄滅的燈之間也相同，在進(jìn)行插空時(shí)進(jìn)行組合。

通過(guò)上述題目可以發(fā)現(xiàn)，插空法可以幫助我們很快解決“不在一起或者不相鄰”類的排列組合問(wèn)題，但是在不同的情境中排列和組合的應(yīng)用也是不同的。因此，我們要多做類似的習(xí)題，把相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)掌握透徹，在遇到這類題目時(shí)努力做到不丟分。

【思維導(dǎo)圖】

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